今天想要讲一下ForAll和Implies这两个函数。

ForAll

ForAll有点类似数学里的任意，我们看下面的一个例子

ForAll[x, a x^2 + b x + c > 0]

使用ForAll结合Resolve，我们可以解出一些问题的解，看下面的一个简单的问题，我们想要知道c取多少时，才能使得x^2+c>0，我们首先看一下不同c的时候，x^2+c的图像

Plot[Evaluate@Table[x^2 + c, {c, -2, 2, 1}], {x, -2, 2}]

很明显可以看出c>0的时候，x^2+c>0成立，那么我们使用Resolve来验证一下

Resolve@ForAll[x, x^2 + c > 0]

可以看到可以得到一样的结论。

Implies

关于Implies，中文名是蕴含，我现在的理解感觉就是判断是否是包含于的意思，可能有些不完善，可以看下面的这个例子，讲得很明白。

我们画出如下两个函数的图像，可以从图中看出x^2+2y^2<1 包含于 x^2+y^2<1

RegionPlot[{x^2 + y^2 < 1, x^2 + 2 y^2 < 1}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1},

PlotLegends -> "Expressions"]

那么我们使用Resolve和ForAll来判断一下

Resolve[ForAll[{x, y}, Implies[x^2 + 2 y^2 < 1, x^2 + y^2 < 1]]]

可以看到判断的结果是True，说明x^2+2y^2<1 包含于 x^2+y^2<1

一点其他的

还想讲一个关于或的用法。

想要画出两个椭圆合在一起的图像，而且要看不出是两个椭圆合在一起的样子。

RegionPlot[{5 x^2 + y^2 < 1, x^2 + 5 y^2 < 1}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

但是这样效果不好，于是我们尝试一下使用或来解决这个问题

RegionPlot[5 x^2 + y^2 < 1 || x^2 + 5 y^2 < 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

然后就很好的解决了问题，嗯，就是这样的。