图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

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所属分类:高等代数
摘要这一篇文章我们会介绍一些特殊的矩阵,如零矩阵,对角矩阵,单位矩阵等。接着我们会介绍一些矩阵的乘法,使用图像化的语言来解释矩阵乘法。

【矩阵的乘积/复合变换】- 图解线性代数 05


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

特殊矩阵

矩阵向量的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上, 本次我们先看几个特殊的矩阵下的变换以及矩阵矩阵的乘积.

零矩阵

即所有元素都是 0 的矩阵, 记为 O .

零矩阵表示的变换是将空间压缩到原点, 可以观察在 2 阶零矩阵的作用下, 空间被压缩到原点的变化过程, 注意行列式的值最后为 0:

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单位矩阵

是对角元素为 1, 其余都是 0 , 记为 I.

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单位矩阵对空间什么都不改变, 保持基向量不变, 也被称为"恒等变换", 可以看下面对应的空间变化过程(尽管没有改变):

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对角矩阵

除了对角元之外所有元素均为 0 的矩阵称之为对角矩阵.

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换, 其中对角元素就是各轴伸缩的倍率, 并且下例矩阵 A 的对角元素中含有 2 个负数, 可以看做经过了 2 次镜像翻转, x,y 两个方向先是压缩, 然后再被拉伸, 面积扩大为原来的 6 倍, 这样行列式的值为 6.

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

矩阵乘法

上面都是进行一次变换的操作, 如果想要再进行一次(甚至更多)变换, 就要矩阵和矩阵相乘了. 譬如下面矩阵 A 相当于将空间旋转, 矩阵 B 是横向拉伸.

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

如果是 BA 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先旋转再拉伸, 这样的复合变换运算顺序是从右往左进行, 可以观察下面的动画:

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

如果是 AB 两个矩阵相乘的运算, 就相当于先拉伸后旋转, 运算顺序是从右往左, 可以观察下面的动画:

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

从上面两个变换动画, 可以得出结论矩阵的乘积不满足交换律(可以想象满足结合律):

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

可以计算出 BA 和 AB 的值:

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

如何计算矩阵的乘积, 除了课本上给出的方法, 还可以按照列的线性表出来进行, 以 BA 为例:

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

下面在看手动推导一遍,其实就是上面所写的

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

另外, 如果两个矩阵都不是零矩阵, 但是矩阵的乘积可能会是零矩阵, 比如在下面两个矩阵:

图解线性代数 05-[矩阵的乘积/复合变换]

空间中, A 做横向压缩, B 做垂直压缩, 经过 A 然后 B 的变换后, 也会映射到原点.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

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