第二类曲面积分-图解高等数学21

概述

• 文章转自：微信号 meetmath
• 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

图解高等数学系列, 是以动图的形式将的数学知识点展示出来.

希望该系列能够帮助朋友更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 也因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 先感谢感谢啦!

这一篇是图解高等数学(数学分析图解)的最后一篇, 这一篇主要介绍关于第二类曲面积分的相关内容.

第二类曲面积分

第一类曲面积分(对面积的曲面积分)的物理意义就是对于密度分布不均匀的曲面要计算其质量.

第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)的物理意义是求流速场通过曲面 S 的流量, 也就是如何计算单位时间通过横断面流体的体积.

简单情况(特殊情况)

先来看一种非常理想的状态: 假设水的流速v, 横截面面积为S, 如下图所示当流速的方向和截面的法方向平行(与截面垂直)时候,  则流量=v·S:

如果截面的法方向与流速方向不一致(有夹角), 那通过该截面的流体流过的总量就会受到影响 - 实际上相当于计算截面投影的流量, 也就是流量为:

观察下面动图随着截面的法方向与流速方向夹角不断增大, 投影面的流量逐渐变小, 在夹角为 90°时候, 流过截面的流量为0.

实际情况(第二类曲面积分)

但在现实遇到的流量问题截面会呈各种曲面, 且在曲面 S 不同的位置有不同方向的流速, 那要计算通过曲面流量呢?

还是老办法---分割取近似, 求和取极限:

分割曲面中为很多小区域 - 曲面微元 dS, 因为非常非常小, 所以可以当做平面来进行处理, 并且将通过该区域的流体速度视为匀速. 观察下动图来理解这种思想.

对于每一个曲面微元 dS, 按照上面的思想将向量函数与切平面的法方向上做投影, 然后再做第一类曲面积分.

去掉问题的物理背景, 对于向量函数 F(f,g,h), 平滑的曲面 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 而言:

结束语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学里相关概念动图.

感谢关注! Thanks!