第二类曲线积分-图解高等数学19

概述

• 文章转自：微信号 meetmath
• 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

图解高等数学系列, 是以动图的形式将的数学知识点展示出来.

希望该系列能够帮助朋友更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 也因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 先感谢感谢啦!

这一篇文章会对第二类曲线积分进行简单的介绍.

第二类曲面积分

第一类曲线积分(对面积的曲面积分)的物理意义就是对于密度分布不均匀的曲面要计算其质量.

而第二类曲线积分物理意义是求质点在向量场作用力下沿着曲线做功的总量.

上一次已经介绍了向量场的概念, 现在看下面一个应用 - 力场中质点的运动, 它的轨迹比较复杂(螺旋线), 并且外力不是恒力. 也就是每个点处的外力都不一样, 现在想要算出外力所做的总功, 数学上就是第二类线积分(在向量场中的线积分)来解决.

可以看下面动图显示两类线积分的区别(下图是一个动图, 展示了两类积分的区别):

其中F是作用力向量, T是曲线C上单位切向量. F和T的内积实际上就是F在单位切向量上的投影, 计算出来的结果再做第一类曲线积分.

也就是把曲线轨迹分成这些很小很小的线段, 对每个线段都有一个与之对应的单位切向量, 并求出每个向量与对应外力的点积, 并把所有的点积加起来, 自然而然就得到所求的结果.

我们来观察下面的动画来理解整个过程:

真正计算的话, 并不会按照定义的方式来进行, 假设 F= {f,g,h} 有三个分量, 且曲线C的参数方程为: r(t)=(x(t), y(t), z(t)), a≤t≤b, 则会按照下面式子来进行计算线积分的结果.

结束语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学里相关概念动图.

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