向量场-图解高等数学18

概述

• 文章转自：微信号 meetmath
• 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

图解高等数学系列, 是以动图的形式将的数学知识点展示出来.

希望该系列能够帮助朋友更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 也因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 先感谢感谢啦!

向量场就是向量构成的一种图形, 平面上的每一个点都对应着一个向量(当然不能在所有的点处都标上向量), 每个向量的取决于x,y的位置, 大小取决于的分量函数.

向量场介绍

平面向量场

绘制向量{2,1}的向量场图, 也就是每个地方都存在向量{2,1}.

再看下面的向量图, 只有向量的水平分量, 也即是说这个向量场总是水平的, 并且向量的长度取决于x值.

下面这个向量场中的向量同时有两个分量, 其实就是从原点呈放射状, 并且向量大小随着与原点的距离增大而增大(可以看一下图片中的代码的含义).

三维的向量场

一旦我们理解平面的情况, 我们就可以来看三维的向量场图, 在空间中的每一点处都有一个向量. 每个有x,y,z三个分量表示出来, 其中每个分量都是x,y,z的函数.

空间中向量场看起来很难有直观的感觉, 为了看的更清楚, 一种做法是可以转成平面的图形. 就是说我们不去考虑z值, 这样可以看到整个图形是由{0,0}向外背离原点, 且越靠外边, 向量长度越大

另外一种做法是绘制切片曲面上的三维向量图, 这样四维的可视化会更能清晰表示在三维区域上的向量值(这种方式更加直观一些).

梯度场

含有三个变量函数 u=(x,y,z) 的梯度本身就是一个向量场(梯度场), 如下面绘制马鞍曲面上梯度构成的向量场图.

结束语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学里相关概念动图.

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