图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

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所属分类:高等代数
摘要这一篇是图解线性代数的最后一篇文章了。讲了关于特征值和特征向量的内容。其实这一部分的内容是很重要的。关于特征值和特征向量,可以有下面的理解,一个变换,如果其中有只有长度伸缩起了变化, 而方向仍在原直线上的向量就是矩阵 A 的特征向量(Eigenvectors), 伸缩的倍数, 就是特征值(Eigenvalues)。

【特征值 / 特征向量】- 图解线性代数 11


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

“特征”一词译自德语的eigen, 意味着“自身的”,“有特征的” — 这强调了特征值对于定义特定的线性变换上是很重要的.

特征值 / 特征向量的几何特点

我们来观察在矩阵 A 的作用下空间发生的线性变换, 注意下图中红色向量和绿色向量的变化:

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

观察要点:

  • 空间发生了倾斜, 但(黑色虚线)直线还是直线, 依然保持平行(线性性质);
  • 变换过程中发生了镜像翻转, 所以行列式为负值 -2;
  • 基向量 i 变换到 (-2,-2) 处, 基向量 j 变换到 (2,3) 处;
  • 红绿两个向量都随之发生了旋转;

是不是空间中所有的向量都会进行旋转呢? 还是这个矩阵变换为例, 再来观察下面这 3 个向量.

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

观察要点:

  • 红绿 3 个向量的长度发生了伸缩变换, 但仍在原来的直线方向上, 并未发生旋转;
  • 两条直线上的任何其他向量都只是被拉伸为原来的 2 倍和 -1 倍, 如红色两个向量都伸长为 2 倍;
  • 除了这两条直线外, 空间中的其他向量在变换过程中都有旋转(见上图);

这里只有长度伸缩起了变化, 而方向仍在原直线上的向量就是矩阵 A 的特征向量(Eigenvectors). 伸缩的倍数, 就是特征值(Eigenvalues), 红色向量 (1,2) 伸长了 2 倍, 特征值为 2; 绿色向量 (2,1) 伸缩倍率为 -1, 相应特征值为 -1.

一般而言, 对于 nxn 方阵 A , 当存在向量 v 不是零向量, 且满足

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

等号左边是矩阵向量的乘积, 而右边是数乘向量.

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

特征值的计算

如何求解出特征值呢, 考虑将上面等式右边项移项:

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

我们知道只有当 (A-λ I) 这个矩阵所代表的变换是压缩扁平化操作的时候才会将向量 v 压缩至原点处, 而压缩扁平化的矩阵的行列式应该等于 0 , 这样只需要求解出相应的特征方程即可得到 λ 的结果.

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

一旦求出了矩阵的特征值, 之后要做的就是带入定义式子, 求出满足定义的特征向量了.

补充

特征值这一部分的内容,和多元分析中的主成分分析有着很大的关系。这里我们先理解一下特征值和特征向量在几何上的一些意思,更多的内容会在多元分析的文章里进行叙述。

 

❥ 部分截图出自 3Blue1Brown 的《线性代数 的本质》视频;

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

图解线性代数 11-[特征值/特征向量]

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