图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

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所属分类:高等代数
摘要这一篇文章我们来讲一下关于矩阵的逆变换,我们还是会采用图形化的语言来进行叙述。最后我们会讨论什么情况下逆变换是存在的,什么情况下逆变换不存在。

【矩阵的逆/逆变换】- 图解线性代数 06


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

逆变换

这次我们来看如何把矩阵 A 经过变换后的向量再还原回去. 观察下面如何从变换后的向量(-1.5, 2) 还原为向量 (1, 0.5) 的过程:

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

注意观察要点:

  • 变换后线性空间还是完整的二维空间;
  • 变换后的行列式为不等于 0;
  • 还原后仅有一个向量与之对应(一对一的关系,若多对一是不能还原的);

整个还原的变换实际上对应了另一个线性变换, 称为矩阵的逆(Inverse), 记为 A^(-1).

矩阵与它的逆矩阵相乘, 那就是先做了一次变换, 然后在还原回来, 这两个连续的变换作用就是矩阵的乘法, 相当于什么都没有改变, 这个没有进行任何改变的变换, 就是上次说提到的单位矩阵.

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

利用这个性质, 我们可以通过在 Ax=V 两边同乘 A 的逆矩阵来求出变换前的向量 x:

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

逆矩阵是否存在

那么问题在于逆矩阵是否一定能找得到呢? 想象当 det(A) = 0 时候, 也就是代表矩阵的变换将空间压缩到更低的维度上, 此时没有逆矩阵. 在二维平面中变换后空间被压缩到原点以及被压缩为一条直线都是不存在相应的逆矩阵. 或者说没有办法找到对应的映射可以将一个点或一条线还原为平面(是不是有点类似三体里的二向箔,降维打击)。

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

类似地, 对于三维空间中, 如果一个变换将空间压缩为一个平面, 一条直线或原点, 也就是都对应 det(A) = 0 (体积为0)时, 那么也没有逆变换. 请看下面矩阵将空间压缩为平面的情况:

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

特殊的逆变换

  • 对角矩阵的情况

对角矩阵对应的变换就是沿着坐标轴伸缩变换, 那么还原就非常简单了, 只需要将各坐标轴伸缩为倒数倍就 好了.

但注意即使不存在逆变换, 但对应的 x 仍然可能存在. 当一个变换将空间压缩到一条直线, 但是向量 v 刚好就在这条直线上. 如下面矩阵 A 将空间压缩成一条直线, 向量 v (1, 0.5) 因为恰好落在该条线上, 所以相应的 x 为 (0.25,-0.25) .

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 还请各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 您的关注和转发就是鼓励我继续前行的最大动力, 感谢感谢!

图解线性代数 06-[矩阵的逆/逆变换]

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目前评论:2   其中:访客  1   博主  1

    • avatar neo

      但注意即使不存在逆变换, 但对应的 x 仍然可能存在. 当一个变换将空间压缩到一条直线, 但是向量 v 刚好就在这条直线上. 如下面矩阵 A 将空间压缩成一条直线, 向量 v (1, 0.5) 因为恰好落在该条线上, 所以相应的 x 为 (0.25,-0.25) .

      这里的 x 是什么

        • avatar 王 茂南 Admin

          @neo 前面讲了一个向量如何经过矩阵变换, 再经过逆变换变回去. 这里是在说, 当一个矩阵是不可逆的, 但是如果这个向量恰好在经过矩阵变换的这条直线上, 他也是可以变回去的(相当于方向没变, 变了长度). x就是指这种经过不可逆矩阵变换后方向没变的向量(可以这么理解).