图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

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所属分类:高等代数
摘要这一篇文章我们会讲一个很重要的概念,矩阵的秩。矩阵的秩可以理解为线性变换后空间的维数。因此矩阵的秩是十分重要的一个概念。这一篇文章我们简单讲一下矩阵秩的概念。

【秩 / 列空间 / 零空间】- 图解线性代数 09


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

矩阵的秩

这一章我们讲一下矩阵的秩,我们首先来做一个简短的回顾.

矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换, 矩阵的列向量相当基向量 i: (1,0) 和 j: (0,1) 经过变换过后的到达向量.

图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

(原谅我用鼠标进行的标注吧)(恩,原来的作者还是很可爱的)

空间变换后的任何向量都可以由矩阵 A 的列向量线性表出, 而这些所有可能的结果, 也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space).

原先的空间经过这样2x2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:

  • 还是平面 -仍是二维空间;
  • 被压缩为一条线 - 变成了一维;
  • 被压缩到原点 - 零维;

在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数, 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说, 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合, 称为矩阵 A 的"零空间"(Null Space)或"核"(Kernel), 记为 Null(A) 或 Ker(A).

对照上面的三种情况(即变换后是平面,一条线,原点), 来分别来观察.

变换 后仍是平面

图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

观察要点:

  • 如果经过矩阵 A 变换后的结果是一个平面, 则 rank( ) = 2, 空间没有被压缩扁平化, 因此可逆, 称之为非奇异矩阵;
  • 这样秩与列数相等, 称之为满秩(Full Rank)矩阵.
  • 对于满秩矩阵来说, 变换后唯一落在原点的就是零向量本身, 也就是 dim Ker(A) = 0;

变换后被压缩为一条直线

图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

当变换的结果是一条直线, 该矩阵是一维的, 称rank(A) = 1, 此时矩阵不可逆, 称为奇异矩阵;

这样非满秩矩阵, 会将空间压缩到更低的一维直线上, 也就是由嫩绿色直线上一系列的向量在变换后成为零向量;

零空间的维度为 1, dim Ker(A) = 1;

变换压缩到原点

图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

当变换的结果是压缩到原点, 则该矩阵是零维的, 称 rank(A) = 0(矩阵A的秩是0);

而零空间维度为 2, dim Ker(A) = 2;

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 还请各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 您的关注和转发就是鼓励我继续前行的最大动力, 感谢感谢!

图解线性代数 09-[秩 / 列空间 / 零空间]

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