图解线性代数 08-[方程组的解2]

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所属分类:高等代数
摘要这一篇文章我们会接着上一篇的内容,继续讲线性代数中方程组的问题。上一篇我们讨论了两个方程的解法和图解,这一篇文章我们讨论一下三个方程时的解法和三种不同的情况。

【方程组的解2】- 图解线性代数 08


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

三元方程的解

这次我们来看看三个方程式, 三个未知数的方程组解(即平面方程组)的情况. 其中每一个方程可以看做代表了三维空间中的一个平面, 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解, 一个交点, 一条直线一个平面;

方程唯一解

我们首先来看一下方程组唯一解的情况

图解线性代数 08-[方程组的解2]

从行视图来理解就是三个平面相交于一点:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

观察要点:

  • 经过矩阵变换后, 仍是三维空间;
  • 解向量 x 在变换后, 与向量 v 重合;
  • 向量 v 可以被矩阵 A 的列向量线性表出, 也就是落在列空间内;

方程组无解

下面来讨论一下方程无解的情况

图解线性代数 08-[方程组的解2]

其中三个平面交线相互平行, 不会有任何共同的交点, 所以无解:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

观察要点:

  • 经过矩阵变换后, 空间被压缩为平面;
  • 由于向量 v 在平面之外, 所以无法被矩阵的列向量线性表出(这个是关键吧), 落在列空间之外;

方程组有无穷解 - 解集为一条直线

下面我们讨论方程组有无穷解,解是一条直线。我们可以看下面的这个例子。

图解线性代数 08-[方程组的解2]

我们画出3D的图,可以看到三个平面相交于一条直线:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

观察要点:

  • 空间经过变换被压缩为平面;
  • 行列式为 0, 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 就在该平面上, 即在列空间内 (这个时候这个向量还是可以被矩阵的列向量表示出来的);
  • 图形中红色细线上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

下面我们看一下方程的解:

方程的通解为特解+零空间上解所有的线性组合:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

我们可以这么理解,零空间上的解乘上矩阵变换还是0,所以加上后是不变的,并且可以任意调节前面的系数。

方程组无穷解 - 解集为一个平面

最后我们看一下方程组有无穷解,且解集为一个平面的情况。

图解线性代数 08-[方程组的解2]

三个平面实为一个平面:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

观察要点:

  • 矩阵变换将空间压缩为一条直线;
  • 行列式为 0 , 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 刚好就在这条直线上, 还在列空间内;
  • 图形中浅蓝色平面上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

下面我们看一下方程的通解:

方程的通解为特解+零空间上解所有的线性组合:

图解线性代数 08-[方程组的解2]

这一次我们从行视图和列视图的几何角度理解线性方程组: 每个方程组都有一个线性变换与之联系; 当逆变换存在时, 就能用逆变换来求解方程组的解;逆变换不存在时, 行列式为 0, 就需要考察向量 v 是否落在列空间内了.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 还请各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 您的关注和转发就是鼓励我继续前行的最大动力, 感谢感谢!

图解线性代数 08-[方程组的解2]

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