Mathematica与数学[1]–偏微分方程数值解（PDE）

这里我们介绍了使用 Mathematica 和 Matlab 来解偏微分方程数值解。我们会同时使用两个软件来做，我本人来说的话是更偏向与 Mathematica 的。下面开始教程。

知识点 -- 关于三类边界条件

1. 第一类边界是给定边界上待求变量的分布；
2. 第二类边界是给定边界上待求变量的梯度值；
3. 第三类边界是待求变量与梯度值之间的函数关系；

在数学物理方程与特殊函数中，对于定解问题求解中边界条件分为第一类，第二类，第三类边界条件。

例如，弦振动问题中，其端点（以x=a表示这个端点）所受的约束情况，通常有三种类型：

第一，固定端，即弦在振动过程中这个端点始终不动，对应于这种状态的边界条件为u（a,t)=0

第二，自由端，即弦在这个端点不受位移方向的外力，从而在这个端点在位移方向的张力为零，此时边界条件为 ux(a,t)=0

第三，弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性体所支承，设弹性支承原来的位置为u=0，则u|x=a就表示弹性支承的应变，由虎克（Hooke）定律可知，这时弦在x=a处沿位移方向的张力可得出（∂u/∂x+σu)|x=a=0

第一题

题目要求

Matlab 解决方法

设置方程的边界条件：

设置要求解的方程：

查看解出的答案：

Mathematica 解决方法

具体方法可以查看函数 NeumannValue 的帮助文档来进行了解。

 将上面的三部分分别展示：

首先画出区域

再求解方程：

最后画出图像：

精确解的图像

第二题

题目要求

Matlab 解决方法

设置边界条件

求解结果画图显示：

Mathematica 解决方法

将上面的三部分分别展示：

首先画出区域：

再求解方程：

最后画出图像：

精确解的图像

参考链接

偏微分方程的数值解