求高斯分布的均值和方差

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摘要这一篇文章给出高斯分布的均值和方差的详细的推导过程, 并给出一些常用的结论. 包括常用的积分运算以及期望是如何进行求的.

简介

这一篇介绍关于高斯分布的均值和方差的推导的过程, 里面涉及的几个求积分的注意点还是可以看一下的, 也可以关注一下如何求期望.

下面所有的推导过程都是来自于下面的链接.

参考链接: how to derive the mean and variance of a Gaussian Random variable?

封面图片来自于: 统计学习 | 高斯分布

推导过程

一些预备知识

伽马函数:

百度百科对伽马函数的介绍: 伽玛函数

在实数域上伽玛函数定义为:

求高斯分布的均值和方差

常用的积分: 

具体的推导过程: 标准正态分布的积分怎么求?

求高斯分布的均值和方差

积分换元法: 

参考链接: 换元积分法

看一个例子, 例子来自于上面的链接:

求高斯分布的均值和方差

求期望

The Gaussian pdf is defined as:

求高斯分布的均值和方差

By definition of the mean we have:

求高斯分布的均值和方差

which using integral properties can be written as(这里使用了积分换元法, 将x'=x+u):

求高斯分布的均值和方差

For the first integral, call it I1 we have using additivity(先对上式左边的进行化简):

求高斯分布的均值和方差

Swapping the integration limits in the first we have:

求高斯分布的均值和方差

and using again integral properties we have(这里再使用一次积分换元法, 令x'=-x):

求高斯分布的均值和方差

So we have that:

求高斯分布的均值和方差

我们再使用一次积分换元法, 做下面的变化:

求高斯分布的均值和方差

最后在结合上面的常用积分, 就可以求出高斯分布的均值了:

求高斯分布的均值和方差

求方差

下面看一下求高斯分布方差的过程, 使用的一些技巧是和上面求均值是一样的, 这里就简单进行叙述.

We have:

求高斯分布的均值和方差

Applying the same tricks as before we have(最后是伽马函数, 参考上面关于伽马函数的介绍):

求高斯分布的均值和方差
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王 茂南

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