常用离散分布

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摘要摘要:随机变量的分布常分为离散分布,连续分布和混合分布,本文主要介绍在概率论与数理统计中常用的几大离散分布和连续分布,立即如何使用mathematica调用使用相应分布并画图。

这一篇文章会介绍统计中的几大常用分布,以下的代码均是使用mathematica来实现。

 

离散分布

二项分布

在进行一项实验时,如果实验可能的结果只有两种,并且每一次实验中产生某一种结果的概率都是相同的,则该试验称为贝努利试验。而二项分布就是n次独立的贝努利试验,各次实验产生的结果相互独立。一般记为b(n,p)。

二项分布的概率分布列:

常用离散分布
  • 均值:np
  • 方差:np(1-p)
  • 使用mathematica产生二项分布(举例b(100,0.4)):
  1. dist1 = BinomialDistribution[100, 0.4]

则dist1中存有模拟该二项分布得到的数据

接着我们使用dist1来计算均值和方差:

  1. Mean[dist1]
  2. >> 40.
  3. Variance[dist1]
  4. >>24. #100*0.4*(1-0.4)

接着画出其分布函数图

  1. Plot[CDF[dist1, x], {x, 0, 80}]

画出的图像如下所示:

常用离散分布

泊松分布

泊松分布是一种常用的离散分布,它常与单位时间(或单位面积、单位产品等)上的计数过程相联系。X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ)。

  • 均值:λ
  • 方差:λ
  • 使用mathematica产生泊松分布(举例P(2)):
  1. dist2 = PoissonDistribution[2]

则dist2中存有模拟该泊松分布得到的数据

接着我们计算均值和方差,可以看出是和上面方差均值的理论值是相同的:

  1. Mean[dist2]
  2. >>2.
  3. Variance[dist2]
  4. >>2.

接着我们画出其分布函数图

  1. Plot[CDF[dist2, x], {x, 0, 20}]
常用离散分布

 

几何分布

在贝努利试验序列中,记每次实验中事件A发生的概率为p,A出现即为实验成功,X记为A出现为止失败的次数,则X的可能取值为0,1,2,...称X服从几何分布,记为X~Ge(p)。

几何分布的概率分布列:

常用离散分布
  • 均值:q / p
  • 方差:q / p^2

接着使用mathematica产生几何分布(举例Ge(0.4)):

  1. dist3 = GeometricDistribution[0.4]

则dist3中存有模拟该几何分布得到的数据

计算均值和方差:

  1. Mean[dist3]
  2. >>1.5.
  3. Variance[dist3]
  4. >>3.75.

画出其分布函数图

  1. Plot[CDF[dist3, x], {x, 0, 20}]
常用离散分布

负二项分布

在贝努利试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,记X为事件A出现r次时已经失败的次数,则X服从负二项分布,记为X~Nb(r,p)。

几何分布的概率分布列:

常用离散分布
  • 均值:rq/p
  • 方差:rq/p^2

使用mathematica产生负二项分布(举例Nb(5,0.4)):

  1. dist4 = NegativeBinomialDistribution[5, 0.4]

则dist4中存有模拟该负二项分布得到的数据

计算均值和方差:

  1. Mean[dist4]
  2. 7.5.
  3. Variance[dist4]
  4. 18.75.

画出其分布函数图:

  1. Plot[CDF[dist4, x], {x, 0, 40}]
常用离散分布
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邵亚男

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