常见的中心极限定理

  • A+
摘要中心极限定理讨论的是在什么条件下,独立随机变量和的分布会收敛于正态分布,本文介绍常见的集中中心极限定理,并且用Mathematica实现相应的模拟。

 

 

1.林德伯格-莱维中心极限定理

 

设{Xn}是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi )=μ,Var(Xi )=σ^2>0存在,若记

常见的中心极限定理

则对任意实数y,有:

常见的中心极限定理

 

Mathematica模拟验证林德伯格-莱维中心极限定理

 

产生10000个(0,1)上的均匀分布的随机数并计算其标准化值,如此重复10000次,将得到的标准化值画出直方图,通过观察直方图图形,可以看到近似正态分布曲线,代码如下:


h = {};
sMean = 10000/2;
sVar = Sqrt[10000/12];
For[i = 1, i <= 9999, i++,
dist = RandomVariate[UniformDistribution[{0, 1}], 10000];
s = Total[dist];
y = (s - sMean)/sVar;
h = Append[h, y];
]
Histogram[h]

结果直方图:

常见中心极限定理_3

 

该例子可用于正态随机数的产生:先从(0,1)上的均匀分布产生12个随机数x1,x2,...,x12,再变换其为y=x1+x2+...+x12-6,则可以将y近似看成来自标准正态分布的一个随机数,如此重复进行。

 

2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理

 

设n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为p(0<p<1),记Sn为n次试验中事件A出现的次数,且记

 

常见的中心极限定理

 

则对任意实数y,有:

 

常见的中心极限定理

 

Mathematica模拟验证林德伯格-莱维中心极限定理

 

产生10000个服从p=0.4的两点分布的随机数并计算其标准化值,如此重复10000次,将得到的标准化值画出直方图,通过观察直方图图形,可以看到近似正态分布曲线,代码如下:

h = {};
For[i = 1, i <= 9999, i++,
dist = RandomVariate[BinomialDistribution[1, 0.4], 10000];
s = Count[dist, x_ /; x > 0];
y = (s - 4000)/48.9898;
h = Append[h, y];]
Histogram[h]

结果直方图:

常见中心极限定理_6

 

  • 微信公众号
  • 关注微信公众号
  • weinxin
  • QQ群
  • 我们的QQ群号
  • weinxin
邵亚男

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: