常用连续分布

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摘要随机变量的分布常分为离散分布,连续分布和混合分布,本文主要介绍在概率论与数理统计中常用的几大连续分布,以及如何使用mathematica调用使用相应分布并画图。

连续分布

1.正态分布

  • 正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为X~N(μ, σ^2)。

  • 正态分布的概率分布列:

常用连续分布
  • 均值:μ
  • 方差:σ^2
  • 使用mathematica产生正态分布(举例N(0,1)):
data1 = NormalDistribution[0, 1]

则data1中存有模拟该正态分布得到的数据

  • 计算均值和方差:
Mean[data1]
>>0.
Variance[data1]
>>1.
  • 画出其密度函数图:
Plot[PDF[data1, x], {x, -5, 5}]
常用连续分布
  • 画出其分布函数图:
Plot[CDF[data1, x], {x, -5, 5}]
常用连续分布

2.均匀分布

  • 在概率论和统计学中,均匀分布也叫矩形分布,它在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义,它们是数轴上的最小值和最大值,通常记为为U(a,b)。

  • 均匀分布的概率分布列:

常用连续分布
  • 均值: (a+b)/2

  • 方差:(b-a)^2/12

  • 使用mathematica产生均匀分布(举例U(0,1)):

data2 = UniformDistribution[{0, 1}]

则data2中存有模拟该均匀分布得到的数据

  • 计算均值和方差:
Mean[data2]
>>1/2.
Variance[data2]
>>1/12.
  • 画出其密度函数图:
Plot[PDF[data2, x], {x, 0, 1}] 
常用连续分布
  • 画出其分布函数图:
Plot[CDF[data2, x], {x, 0, 1}]
常用连续分布

3.指数分布

  • 指数分布,也称为负指数分布,具有无记忆的性质,其中λ > 0是分布的一个参数, 如果一个随机变量X呈指数分布,则可以记作X~Exp(λ)。

  • 指数分布的概率分布列:

常用连续分布
  • 均值:1/λ

  • 方差:1/λ^2

  • 使用mathematica产生指数分布(举例Exp(0.5)):

data3 = ExponentialDistribution[0.5]

则data3中存有模拟该指数分布得到的数据

  • 计算均值和方差:
Mean[data3]
>>2.
Variance[data3]
>>4.
  • 画出其密度函数图:
Plot[PDF[data3, x], {x, 0, 20}] 
常用连续分布
  • 画出其分布函数图:
Plot[CDF[data3, x], {x, 0, 20}]
常用连续分布

4.伽马分布

  • 伽玛分布(Gamma Distribution)中的参数α称为形状参数,β称为尺度参数,若随机变量服从伽马分布,则记为X~Ga(α,β)。

  • 伽马分布的概率分布列:

常用连续分布
  • 均值:α/β

  • 方差:α/β^2

  • 使用mathematica产生伽马分布(举例Ga(2,2)):

data4 = GammaDistribution[2, 2]

则data4中存有模拟该伽马分布得到的数据

  • 计算均值和方差:
Mean[data4]
>>4.
Variance[data4]
>>8.
  • 画出其密度函数图:
Plot[PDF[data4, x], {x, 0, 20}] 
常用连续分布
  • 画出其分布函数图:
Plot[CDF[data4, x], {x, 0, 20}]
常用连续分布
  • 不同参数的密度函数比较:
Ga[10, 20] = PDF[GammaDistribution[1, 2], x]
Ga[20, 20] = PDF[GammaDistribution[3, 3], x]
Ga[20, 30] = PDF[GammaDistribution[4, 7], x]
Ga[10, 50] = PDF[GammaDistribution[5, 10], x]
Plot[{Ga[10, 20], Ga[20, 20], Ga[20, 30], Ga[10, 50]}, {x, 0, 50}, 
PlotLegends -> "Expressions", PlotRange -> {0, 0.15}]
常用连续分布

5.贝塔分布

  • 服从贝塔分布(Beta Distribution)的变量x仅能出现于0到1之间,a,b是两个大于0的参数,随机变量服从参数为a和b的贝塔分布,则记为X~B(a,b)。

  • 伽马分布的概率分布列:

常用连续分布
  • 均值:a/(a+b)

  • 方差:ab / ((a+b)^2*(a+b+1))

  • 使用mathematica产生伽马分布(举例Be(2,2)):

data5 = BetaDistribution[2, 2]

则data5中存有模拟该贝塔分布得到的数据

  • 计算均值和方差:
Mean[data5]
>>1/2.
Variance[data5]
>>1/20.
  • 画出其密度函数图:
Plot[PDF[data5, x], {x, 0, 1}]
常用连续分布
  • 画出其分布函数图:
Plot[CDF[data5, x], {x, 0, 1}]
常用连续分布
  • 不同参数的密度函数比较:
B[2, 2] = PDF[BetaDistribution[2, 2], x]
B[2, 3] = PDF[BetaDistribution[2, 3], x]
B[2, 4] = PDF[BetaDistribution[2, 4], x]
B[3, 5] = PDF[BetaDistribution[3, 5], x]
Plot[{B[2, 2], B[2, 3], B[2, 4], B[3, 5]}, {x, 0, 1}, 
PlotLegends -> "Expressions"]
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邵亚男

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目前评论:2   其中:访客  1   博主  1

    • avatar xqq

      这一篇超级详细!行家啊

        • avatar 王 茂南 Admin

          @xqq 这个系列都写得很好,欢迎继续看下去。