积分举例-图解高等数学12

概述

• 文章转自：微信号 meetmath
• 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

图解高等数学系列, 是以动图的形式将的数学知识点展示出来.

希望该系列能够帮助朋友更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 也因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 先感谢感谢啦!

积分的意思就是求微小分量总和的极限.  实际应用中有这么几个典型的例子:

• 质线的质量
• 变速直线运动的路程
• 曲边梯形的面积

这 3 个例子的共同点都是求在区间上的分布不均匀的某种数量. 求解的方法都是通过分割, 求和, 求极限来取得到结果. 下面分别来看一下几个例子.

匀速直线运动的路程

根据以往的经验, 对于匀速直线运动, 已知速度为 60 km/hr, 在 2 hr 的路程为:

路程= rate time  = 60 2 = 120 km, 即直线下面积.

变速直线运动的路程

如果速度是变化的, 怎样求在某段时间内的路程呢? 假如速度~时间函数为 v = t^2, 如下图所示, 我们可以通过分割为不同的小区间(当然可以有不同划分的方式)

• 在每个相应的小区间内, 近似可以视为匀速直线运动, 再来计算每一小的路程 --- 小矩形面积;
• 最终将所以小矩形相加求和(得到整个曲线下面积) --- 黎曼和.

当划分的区间数趋向无穷时候, 也就是间距为 0 时候, 就可以得到相应的结果 - 变速直线运动的路程.

曲边梯形的面积

相同的思想, 用积分可以求曲线梯形的面积.

结束语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学里相关概念动图.

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