第一类曲面积分-图解高等数学17

概述

• 文章转自：微信号 meetmath
• 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

图解高等数学系列, 是以动图的形式将的数学知识点展示出来.

希望该系列能够帮助朋友更加深刻的理解某些较为抽象的概念. 也因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 先感谢感谢啦!

这一篇文章会介绍关于第一类曲面积分的相关知识, 会给出一些可视化的解释.

第一类曲面积分

第一类面积分的定义

第一类曲面积分所采用的方法还是分割取近似, 作和求极限.

就是用很小一块面积dS乘以相应的密度函数f(x,y,z), 再将曲面S区域上各个小块的质量累加起来, 得到曲面总质量. 下面的积分式描述了上面的概念:

面积分的计算公式

但是实际上直接利用定义公式计算会很困难, 所以做法就是将曲面的面积利用投影的方式转成平面上, 再求其积分. 回忆[投影的应用]的求椭圆面积的公式:

第一类曲面积分具体做法就是在对于一小块曲面面积dS不方便计算的时候, 将曲面投影下来到xoy平面上去计算dxdy面积. 利用投影的思想在投影面R来积分. 在看具体计算推导之前先来看动画演示:

下面看一下具体的推导证明:

我们知道dS小块曲面面积与投影面积的关系式如下:

若z=g(x,y), 曲面投影到xoy的R区域, 则计算公式可得:

那现在问题是如何求θ呢? 它其实就是当前曲面 (法线, 即梯度向量n) 与z轴 (向量k) 的夹角.

这样把曲面上的面积分转成平面上的面积分, 最终公式如下:

结束语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学里相关概念动图.

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