函数的极限( ε – δ 语句)|文艺数学君

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所属分类:数学分析
摘要这篇文章会使用图形化的语言来介绍函数的极限( ε – δ 语句),作为数学分析一开始就要学的ε – δ 语句,希望能用这种形象的语言让大家更好的理解。最后~~欢迎大家关注公众号:文艺数学君

定义

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

即:任意给定一个大于0的实数ε,若存在以a为中心的空心邻域:

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

对任意:

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

都有x的函数值f(x)与某个定值A的差的绝对值不超过ε,则称f(x)在a的极限为A。

图形化解释

但是上面的定义还是不是很直观,下面我们来举两个例子,分别使用图形来解释一下极限的ε - δ语句。我们会举一个趋于无穷的例子和一个趋于定点a的例子。

趋于无穷的极限

在这里我们举的例子是:

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

我们要求x趋于无穷时,f[x]的极限。 根据定义中∀ε>0,在这里我们首先取ε = 0.09,我们可以看到∃δ = 10.39,则有x > δ时,有|f(x)|<ε,即|f(x)-0|<ε。

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

由于是∀ε>0,我们可以再取ε = 0.05,我们可以看到∃δ = 19.71,有x > δ时,则有|f(x)|<ε,即|f(x)-0|<ε。

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

我们可以看到,不管ε取何值,我们都可以找到对应的δ,使得x>δ时,有|f(x)-0|<ε,所以f[x]的极限是0。

趋于点a的极限

我们还是看刚刚那个函数,但是此时我们不让x趋于无穷,而是让x->17,我们来看此时f[x]的极限。 根据定义中∀ε>0,在这里我们首先取ε=0.1,我们可以看到∃δ = 14.90,则有|x-17|<δ时,有|f(x)- f[17]|<ε。

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由于是∀ε>0,我们可以再取ε = 0.07,我们可以看到∃δ = 16.47,有|x-17|<δ时,有| f(x) - f[17] |<ε。

函数的极限( ε - δ 语句)|文艺数学君

我们可以看到,不管ε取何值,我们都可以找到对应的δ,使得0<|x-17|<δ时,有| f(x) - f[17] |<ε,所以f[x]在x=17时的极限是f[17](这里f[17]是可以取到的)。

历史

下面我们来说一下ε - δ语句的来历。在牛顿一开始弄微积分的时候,是使用△x来表示小的增量,但是当时的英国主教乔治·贝克莱就批评牛顿的流数观念,比如说在求微分的时候,牛顿首先给出x一个增量△x,然后又让△x是零,这违背了“背反律”,就是说既然开始定义了△x是一个增量,那么△x就不能为0(不然增什么量呢?),然后在求微分时又让△x成为了零,这不是相互矛盾了吗?而这个也演变成了第二次数学危机。

在这次危机的解决过程中,起到关键作用的就是“现代分析之父”——Weierstrass,他在Cauchy和Abel工作的基础上,提出了著名的函数极限“ε-δ”定义,即我们现在所学的极限的严格定义。通过极限概念的提出,我们也意识到在数学分析中的一个重要事实:很多数只能由极限来定义。

 

历史评价

函数极限的“ε-δ”定义第一次使极限和连续性摆脱了与几何和运动的任何牵连,给出了只建立在数与函数概念上的清晰的定义,从而使一个模糊不清的动态描述,变成为一个严密叙述的静态观念,这不能不认为是变量数学史上的一次重大创新。今天“ε-δ”语言的精髓已经深入到现代数学的每一根血管,牵动着每一根神经。

 

一个有趣的解释

函数极限的“ε-δ”定义就像孙悟空ε与如来佛δ。

孙悟空ε不管怎么努力,都逃不过如来佛δ的掌心。只要|x-x0|<δ,则|f(x)-A|<ε。如来佛δ通过控制自己的大小,可以让孙悟空ε任意的小。

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王 茂南

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