偏导, 方向导数, 梯度介绍-图解高等数学04

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所属分类:数学分析
摘要这一篇文章主要介绍多元函数的偏导数和方向导数。其中偏导只是二元函数沿着坐标轴 x 或者 y 的变化率,方向导数是沿着任意方向的变化率,最后梯度就是方向导数取最大值得方向就是梯度。

偏导, 方向导数, 梯度介绍


  • 文章转自:微信号 meetmath
  • 由@文艺数学君@王茂南整理修订并发布

这一篇会用动态图形直观形象地理解偏导, 方向导数与梯度以及它们之间的关系啦!

偏导(Partial Derivative)

回忆一元函数的导数就是函数的变化率, 那对于二元函数的偏导而言, 可以按着某一个变量不变(视为常量), 只对其中的另外一个变量求变化率. 从下面动图中可以看到对 x 求偏导, 截面与 xOz 平面平行, 其中截面与二元函数的交线就是一个一元函数的曲线.

偏导, 方向导数, 梯度介绍-图解高等数学04

方向导数/梯度

偏导只是二元函数沿着坐标轴 x 或者 y 的变化率, 但是能否求沿着任意方向的变化率呢? 当然可以了, 这就是方向导数(Directional  Derivative). 而其中方向导数取最大值的方向就是梯度(Grad )啦, 也就是函数变化率最大的方向。

观察底部表示方向导数(蓝色)梯度(黑色)的箭头指向(两者这里只表示方向), 梯度方向始终指向函数值上升最大的方向.

偏导, 方向导数, 梯度介绍-图解高等数学04

结语

上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高等数学例子. 因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免(尽管两个模型折腾好长时间), 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见! 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高等数学概念的动画演示.

感谢关注! Thanks!

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